2.5. Решение задачи для индуктора конечной длины

Расчетная модель индуктора показана на рис. 2.12.

Рис. 2.12.

Рассматривается только поле индуктора при токах в полосе, равных нулю (холостой ход или σ = 0). Активная (обмотанная часть индуктора) имеет длину 2l. Общая длина стальных участков индуктора 2L. Волна линейной токовой нагрузки

                      (2.37)

где

                      (2.38)

— амплитуда линейной нагрузки.

Считаем, что токи расположены в зазоре равномерно по его высоте (см. 2.3). Зазор считается гладким, а насыщение зубцов и стальных участков учитывается путем введения эквивалентного зазора δ_э

                                (2.39)

где k_δ — коэффициент воздушного зазора; k_μ — коэффициент насыщения стали зубцов и др. участков.

Высота ярем индуктора равна h. Индукция в зазоре имеет только z–составляющую, постоянную по высоте зазора.

Введем обозначения:

B — индукция в активной зоне ;

В_л — индукция в зазоре при  (левый шунтирующий край);

В_п — индукция в зазоре при  (правый шунтирующий край);

В_я — индукция в ярме активной зоны;

В_ял — индукция в ярме левого шунтирующего края;

В_яп — индукция в ярме правого шунтирующего края;

Ф_lл — поток в ярме в сечении при

Ф_lп — поток в ярме в сечении при

Составляющие положительны, если совпадают по направлению с положительными направлениями координатных осей.

Покажем здесь общий план составления исходного уравнения и нахождения его решения, опуская для краткости подробности, которые читатель легко найдет, обращаясь к основной литературе.

На основе закона полного тока 

.

Из рис. 2.12 для контуров имеем:

     (2.40)

Индукция в ярме

                    (2.41)

После подстановки имеем:

   (2.42)

где

                           (2.43)

После дифференцирования дважды по х имеем

            (2.44)

Решение этого уравнения имеет вид

                 (2.45)

Здесь В_δх — частное решение уравнения (2.44), которое можно представить в виде

                   (2.46)

Нормальная составляющая индукции В_δ в соответствии с общей теорией электрических машин

                     (2.47)

где .

Согласно (2.45)

           (2.48)

Здесь B_δ — амплитуда индукции бегущего поля при отсутствии краевых эффектов, второй и третий члены связаны с краевым эффектом.

Так как в левом и правом шунтирующих участках токи равны нулю, имеем:

                    (2.49)

                    (2.50)

Опуская довольно сложный процесс последовательного определения постоянных С₁, C₂, С₃, С₄ окончательно имеем:

          (2.51)

.

Решения 2.51 записаны в общем виде. Для упрощения вида решения примем , где р — целое число (четное число полюсов индуктора)

Тогда:

   (2.52)

(2.53)

После подстановки в (2.48) окончательно имеем

(2.54)

Здесь B_ch — амплитуда пульсирующего во времени поля, распределенного вдоль зазора по закону гиперболического косинуса. B_sh — амплитуда пульсирующего во времени поля, распределенного вдоль зазора по закону гиперболического синуса.

Отношение:

                       (2.55)

                    (2.56)

Если ярма не насыщены , то  и

;                  (2.57)

а (2.54) переходит к виду

          (2.58)

Из (2.58) следует, что при отсутствии насыщения пульсирующее поле только одно, и оно тем меньше по сравнению с бегущим, чем длиннее индуктор (d мало зависит от l).

Характер распределения толя вдоль индуктора лучше исследовать, получив огибающие поля.

Для этого возьмем :

Представив (2.54) в виде

где

после дифференцирования по t имеем

Отсюда

и

;

Окончательно имеем выражение:

(2.58)

которое и дает уравнение огибающей индукции.

Для ;

            (2.59)

Вид огибающих индукция для индуктора с  и  показан на рис. 2.13.

Итак, магнитное поле вдоль зазора неравномерно, что усложняет анализ ЛАД при движении вторичного тела. Однако этот интересующий нас случай рассматривается в следующей главе.

Рис. 2.13.