1.2. Использование методов расчета полей в электромеханических системах

Все физические поля, в том числе и электромагнитное поле, являются трехмерными. Однако во многих случаях, представляющих практический интерес, точные аналитические решения для трехмерных полей получить невозможно, а нахождение численных решений нередко связано с чрезмерно большим объемом вычислений. Приближенное решение с вполне достаточной точностью может быть найдено путем сведения пространственной задачи к плоской, т.е. без учета изменения поля по одной из координат. В результате такого подхода для многих задач удается найти аналитическое решение, а при численных расчетах значительно сократить трудоемкость вычислений и временные затраты. Например, распределение поля в воздушном зазоре электрической машины может быть найдено с высокой точностью в результате его расчета в поперечном сечении, перпендикулярном оси вращения (т.е. без учета изменения поля по длине машины), а поле в торцевой зоне можно определить, хотя и значительно менее точно, исходя из анализа поля в аксиальной плоскости (пренебрегая изменением поля в азимутальном направлении).

Существует множество подходов к расчету электрических машин. Одним из них является расчет тем или иным способом частичных полей или полной картины магнитного поля с учетом нелинейности магнитопровода.

Однако в ряде случаев возникает необходимость решения не двухмерных, а трехмерных задач, что связано, например, с необходимостью более точного учета поля в торцевой зоне электрической машины, при расчете коротких машин большого диаметра, торцевых машин и в других случаях.

Расчет магнитного поля до сих пор остается узловой проблемой, позволяющей в дальнейшем определять необходимые параметры или характеристики электромагнитных устройств.

Уравнения (1.21)–(1.29) решаются, как правило, аналитическими или численными методами [4]. Для аналитических методов решением являются алгебраические функции, в которые подставляют значения параметров, определяющих поле. Для численных методов решение имеет вид совокупности числовых значений, описывающих поле для одного частного сочетания заданных параметров.

Достоинство аналитических методов заключается в возможности получения общего решения, которое позволяет составить полное представление о влиянии различных параметров на магнитное поле машины. В противоположность этому при использовании численных методов необходимо выполнять расчет для каждой совокупности значений параметров, поэтому их недостаток состоит в том, что общая картина часто может быть получена только ценой большого количества расчетов.

Численные методы, получившие в последние годы широкое признание, в значительной мере обязаны прогрессу быстродействующих цифровых вычислительных машин, которые позволили исследователям решать с высокой степенью точности задачи по определению различных физических полей. Без использования ЭВМ такие расчеты были бы чрезвычайно трудоемки или вообще невозможны.

Среди аналитических методов следует отметить метод конформных преобразований [4]. Метод состоит в таком преобразовании области расчета, когда очертания границ приобретают простую форму, для которой решение уравнения поля известно. Подыскание функциональной зависимости, правильно отражающей замену поля, является основной трудностью этого метода.

Конформное преобразование является, безусловно, наиболее действенным методом аналитического определения лапласовых полей, позволяющим учитывать влияние границ гораздо более сложной конфигурации, чем другие аналитические методы. Оно может быть использовано, например, для определения полей в воздушном зазоре электрической машины с учетом зубчатости сердечников. Наиболее подходящим в этом случае может оказаться конформное преобразование Шварца-Кристоффеля [4].

Среди численных методов наиболее распространенными следует признать МКР,  МКЭ и метод граничных элементов (МГЭ).

Метод конечных разностей [4] использует замену дифференциальных уравнений (1.21)–(1.29) конечно-разностными уравнениями. Основной недостаток этого метода – сложность точного описания границ и оптимального наложения на область расчета конечно-разностной сетки.

Применительно к задачам электромеханики МКЭ позволяет рассчитывать электрические, магнитные, температурные и другие поля. Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную функцию, такую, как векторный или скалярный магнитный потенциал, индукцию, температуру и т.п., можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Решение уравнений поля в МКЭ определяется исходя из условия минимума энергетического функционала или ортогональности невязки уравнений поля и интерполяционных функций конечных элементов [5, 6].

При построении в МКЭ дискретной модели непрерывной функции поступают следующим образом:

– в рассматриваемой области фиксируется конечное число точек, называемых узловыми;

– значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена;

– область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами; эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области;

– непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины; для каждого элемента определяется свой полином, подбираемый так, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ каждого элемента.

Возникновение МКЭ связывают с решением задач космических исследований. Впервые он был опубликован в 1956 г. в статье Тернера, Клута, Мартина и Топпа [7]. Эта работа способствовала появлению других трудов; был опубликован ряд статей с применениями МКЭ к задачам строительной механики, механики сплошных сред других областей техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями диффузии, Гельмгольца, Лапласа, Пуассона. В первых публикациях [5, 8] с помощью метода конечных элементов решались задачи распространения тепла. Затем этот метод был расширен и на задачи электромеханики [9, 10].

Сегодня МКЭ имеет хорошее теоретическое обоснование и из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут благодаря совершенствованию быстродействующих цифровых вычислительных машин, позволивших значительно ускорить проведение многих сложных численных расчетов.

Наиболее важные преимущества МКЭ по сравнению с МКР, благодаря которым он широко используется для расчета магнитных полей, состоят в следующем:

1) возможность точного описания криволинейных границ областей;

2) простота изменения дискретизации области в различных ее участках для получения более высокой точности расчетов при наименьшем числе узлов расчетной сетки;

3) возможность задания граничных условий второго рода на границах любой протяженности, а также смешанных граничных условий.

4) возможность наложения граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой.

Расчет магнитного поля в электрической машине численными методами позволяет детально проанализировать его распределение в отдельных элементах магнитной цепи. Сложная граница зубцовой зоны, большие размеры расчетной области и наличие сред с разными магнитными проницаемостями требуют большого количества узлов при использовании МКР или МКЭ. Количество узлов, на которое разбивается область поля электрической машины, может достигать нескольких десятков тысяч. Система уравнений такого порядка может быть решена только с помощью совершенных вычислительных программ и с использованием быстродействующей вычислительной техники. Как правило, эти расчеты весьма трудоемки, что усложняет их применение в процедурах проектирования.

Как показала практика, очень часто расчет полного поля машины представляет значительные сложности, что связано с чрезвычайно большим объемом вычислений. Кроме того, определяющим фактором при выполнении расчета является правильное и достаточно тщательное наложение конечно-элементной сетки на область расчета. В противном случае задача может даже не сходиться. Сложность наложения сетки состоит в том, что область расчета поля электрической машины имеет маленький воздушный зазор, требующий очень высокой степени дискретизации, в то же время на периферийных участках, где небольшой градиент изменения поля, шаг сетки желательно увеличить. При этом должен быть плавный переход от мелкого шага к крупному, чтобы не было узких длинных треугольных элементов, сильно снижающих или даже делающих невозможной сходимость задачи.

Таким образом, опыт расчета и приведенные выше соображения говорят, что расчет поля во всем поперечном сечении машины с учетом насыщения сердечников очень часто не может обеспечить ни необходимой точности, ни приемлемых вычислительных затрат. Поэтому приходится выполнять расчеты для ограниченной области, охватывающей, например, лишь взаимодействующие зубцы или головки зубцов, зубцовые или полюсные деления машины. Учет же насыщения остальной части магнитопровода может быть выполнен при расчете магнитной цепи на основе методов теории цепей.

В последнее время наибольшее распространение получили два численных метода расчета: МКЭ и МГЭ. Например, фирмой Integrated Engineering Software предложен программный пакет CAE по расчету плоских и объемных электромагнитных и электростатических полей, анализу процессов теплопередачи. Расчет полей основывается на оригинальном варианте МГЭ, который, по мнению фирмы, сокращает время расчетов, не требуя длительного проектирования расчетной сетки, как этого требует МКЭ. В результате расчетов определяются моменты и силы, траектории силовых линий, температура и тепловые потоки с учетом вихревых токов, омических потерь, поверхностного эффекта.

Совсем недавно фирма Integrated Engineering Software выпустила новую версию САЕ-программы по расчетам трехмерных электромагнитных полей (Amperes V.3.0) и задач электростатики (Coulomb V.3.0), которые включают линейно-угловое периодическое моделирование, что на 90% уменьшает время подготовки и анализа результатов. В эти программы также включены встроенные 3D CAD-системы с IGES/DXF утилитами, линейные и нелинейные таблицы свойств материалов, множество электромагнитных постпроцессорных опций, таких как определение силы, момента, контурных силовых линий, графики и анализ траектории [11]. Однако при очевидных достоинствах этого пакета (высокие точность и детальность) налицо его недостатки – значительная трудоемкость. По [11] для получения только одной точки искомой зависимости требуется разбиение области расчета на десятки тысяч элементов.

Такими же возможностями обладает интерфейс программного пакета ELCUT, разработанного Санкт-Петербургской фирмой ТОР для расчета двумерных полей с помощью МКЭ. Его отличительная особенность – простота использования и весьма высокое быстродействие.