3.3. Продольный краевой эффект при движении вторичного тела и его влияние на основные характеристики ЛАД

Общие замечания. Конечная длина индукторов ЛАД обуславливают появление в возбуждающем поле кроме бегущей волны две стоячие пульсирующие волны. При наличии в зазоре вторичного проводящего и движущегося тела в последнем возникает не только ответные бегущие волны тока и поля, но и дополнительные токи и поля, оказывающие, как правило, тормозное действие, увеличивающие потери и снижающие к. п. д. машины в целом. Вредное влияние продольного краевого эффекта может быть очень значительным и его изучение для некоторых типов ЛАД должно представлять центральную задачу. В последующих разделах этой главы будет показано, что все типы ЛАД условно могут быть разделены на 3 группы, в которых проявление краевого аффекта имеет различный характер и в зависимости от этого должно учитываться обязательно или может не учитываться вовсе.

Проблеме изучения продольного краевого эффекта посвящено большое количество работ. Обычно на современном этапе делаются попытки решения двух и трехмерных задач, что неизбежно приводит к численному анализу и чрезвычайно затрудняет понимание физики явления и его особенностей. Поэтому представляется целесообразным рассматривать одномерную модель с такими упрощениями, которые минимально искажают реальную физическую картину явления и в то же время позволяют максимально упростить математическое решение задачи. С этой целью мы воспользуемся расчетной моделью, предложенной я проанализированной А. И. Вольдеком.

Основные допущения и решение задачи

Расчетная модель представлена на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

Основные допущения следующие:

1.         Магнитопроводы индукторов имеют ,  и бесконечны в направлениях (+, –) оси х.

2.         Поперечный краевой эффект отсутствует, т. е. ширина индукторов по оси у неограничена.

3.         Индукторы гладкие (не имеют тазов). Их влияние учитывается введением эквивалентного зазора .

4.         Немагнитный зазор  полностью занят проводящим вторичным телом (без зазора).

5.         Обмотка индуктора имеет четное число полюсов и создает синусоидальную бегущую волну поля, возбуждающие токи (токи индукторов) расположены в зазоре (см. 2.3) и их распределение от координаты z не зависит.

6.         Компенсирующие элементы (к. э.) и их токи распределены в виде слоев поверхностных токов на границах активной зоны с линейными плотностями J₂₃ и J₂₄. Это допущение подчинено допущению 5, где принята идеальная бегущая волна поля.

Решение проводится в неподвижной системе координат жестко связанной с индуктором ЛАД.

При этих допущениях задача является одномерной и векторы ,  и  имеют только одну составляющую, направленную по оси у, а вектор  — только по оси z.

Плотность тока индукторов при такой формулировке задачи записывается аналогично (2.22); (2,23) и (2.24).

Суммарные комплексные амплитуды линейной плотности тока к. э. на границах активной зоны (2) запишутся, как  и .

Решение резонно провести для векторного потенциала от первичных и вторичных токов.

Из условия задачи ; .

Исходное уравнение для А в зоне 2 на основе (l.25) приобретает вид:

         (3.12)

В зонах 3 и 4 сторонний (возбуждающий) ток равен нулю: . Поэтому в зонах 3 и 4 имеем:

              (3.13)

              (3.14)

Решение уравнения (3.12) состоит из частного решения и общего решения однородного уравнения без правой части. Частное решение  соответствует идеальному бегущему магнитному полю, и должно иметь такую же зависимость от координаты х, как и плотность тока .

Поэтому

                          (3.15)

После подстановки (3.15) в (3.12) простых преобразований имеем

                        (3.16)

где магнитное число Рейнольдса

                         (3.17)

Общее решение однородного уравнения (3.12) теперь будет иметь вид:

                 (3.18)

где C₂₁ я С₂₂ — постоянные интегрирования;

                        (3.19)

                           (3.20)

Полное решение уравнения для векторного потенциала

     (3.21)

В зонах 3 и 4 при  векторный потенциал должен обращаться в нуль. Поэтому для зоны 3 решение возможно только в виде

                     (3.22)

Здесь также С₃—постоянная интегрирования

                       (3.23)

                          (3.24)

Для зоны 4 аналогично:

                   (3.25)

а  и  те же, что в (3.23) и (3.24).

Для подробного анализа решения нам потребуется определение всех постоянных интегрирования.

Так как , а  имеет только одну составляющую B_z и вектор  только y‑составляющую

или .

На границах зоны 2 с зонами 3 и 4 имеем:

                     (3.26)

                   (3.27)

Далее на основании (3.21), (3.22), (3.25), (3.26), (3.27) получаем:

  (3.28)

При получении (3.28) учтено, что , т. к. р — целое число.

На границах зон 2,3 и 2,4 должны быть непрерывны касательные составляющие напряженности электрического поля

или

   ;

                      (3.29)

Поэтому из (3.21), (3.22) и (3.24) имеем:

                      (3.30)

    (3.30)

Полученные уравнения позволяют получить выражения для всех постоянных интегрирования:

          (3.31)

         (3.32)

        (3.33)

             (3.34)

             (3.35)

           (3.36)

             (3.37)

            (3.38)

Такие же выражения можно получить и для С₃, С₄. Но при известных C₂₁ и С₂₂ это проще сделать непосредственно из (3.30).