1.2. Основные уравнения магнитной гидродинамики и
определяющие критерии подобия МГД–потоков

Следует условиться, что мы будем рассматривать проводящие жидкости как сплошную среду немагнитную с магнитной проницаемостью . Поэтому следует считать, что проводимость жидкости, обусловленная свободными зарядами (ионами или электронами), воздействует на магнитное поле возбуждения электрическими токами текущими в ней. В свою очередь токи проводимости вызывают при взаимодействии с магнитным полем электромагнитную объемную силу . Магнитостатическими силами и электростатическими силами обычно пренебрегают, как чрезвычайно малыми по сравнению с силой f. Относительно большая величина электропроводности жидкостей позволяет в прикладной магнитной гидродинамике пренебречь токами смещения и конвекции.

Теперь совместная система уравнений гидро– и электродинамики позволяет дать описание магнитогидродинамических процессов.

Основным уравнением вязкой несжимаемой жидкости является уравнение Навье–Стокса:

;                          (1.1)

,                                                          (1.2)

где р – давление в жидкости.

В уравнение входит пондеромоторная сила  и локальная скорость в проводящей жидкости . Так как рассматриваются «нерелятивистские» скорости течения, то для изотропных сред уравнения электродинамики записываются в виде:

;                                       (1.3)

;                                      (1.4)

;                                         (1.5)

.                                    (1.6)

При последовательном исключении J и Е из уравнений получаем уравнение индукции

   или   .                  (1.7)

В общем случае уравнения гидродинамики должны быть дополнены полным уравнением энергии, так как под действием электромагнитного поля в жидкости имеет место джоулева диссипация энергии, т.е. выделение тепла. Однако этот сложный процесс обычно в прикладных задачах не рассматривается. Считается так же, что скорость жидкости значительно меньше скорости распространения звука в ней. Это позволяет считать жидкость несжимаемой. Для большинства жидких металлов (калий, натрий, олово, ртуть, свинец) и соляных растворов (соляная кислота, морская вода) скорость звука слабо зависит от интенсивности магнитного поля (влияние электрического поля не обнаружено) и составляет примерно 1450÷2400 м/с.

Анализ полных уравнений магнитной гидродинамики является очень сложным и в большинстве случаев аналитически неразрешимым. Поэтому для установления особенностей проявления магнитогидродинамических эффектов в тех или иных случаях вводятся безразмерные комплексы или критерии подобия.

Вводя относительные величины для ; ; ;

;  и т.д., где ,, – некоторые характерные скорость, индукция, линейный размер.

Уравнение Навье–Стокса в безразмерном виде приобретает вид

              .           (1.8)

Уравнения электродинамики записываются также в виде:

              ;                                                       (1.10)

              ;                                                          (1.11)

              ;                                                       (1.12)

              ;                                                               (1.13)

              ;                                                               (1.14)

             .                                              (1.15)

Теперь непосредственно следует, что магнитогидродинамические явления в потоках характеризуются тремя основными критериями – Re, , М.

Здесь  – число Рейнольдса

 – магнитное число Рейнольдса,

 – число Гартмана,

 – число Стюарта

Конечно  – динамическая вязкость, v – кинематическая вязкость ,
 – плотность.